Сложение вероятностей взаимно совместных событий
Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.
Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:
Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий,
вычисляем так: Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ. Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий.
При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:
- взаимно независимыми;
- взаимно зависимыми.
Умножение вероятностей
Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.
При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:
Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.
Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:
Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не
отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?
Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке
появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово “конец”.
Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.
Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду. Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий – на странице “Различные задачи на сложение и умножение вероятностей” .
Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:
Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.
1.1. Типы коэффициентов
Букмекерские конторы, как правило, предлагают три типа коэффициентов – десятичный, дробный и американский. Разберем каждую из разновидностей.
1.2. Десятичные коэффициенты
Десятичные коэффициенты при умножении на размер ставки позволяют рассчитать всю сумму, которую вы получите на руки в случае выигрыша. К примеру, если вы поставили 1 доллар на коэффициент 1,80, в случае выигрыша вы получите 1 доллар 80 центов (1 доллар – возвращенная сумма ставки, 0,80 – выигрыш по ставке, он же ваша чистая прибыль).
То есть вероятность исхода, по версии букмекеров, составляет 55%.
1.3. Дробные коэффициенты
Дробные коэффициенты – наиболее традиционный вид коэффициентов. В числителе показана потенциальная сумма чистого выигрыша. В знаменателе – сумма ставки, которую нужно сделать, чтобы этот самый выигрыш получить. К примеру, коэффициент 7/2 означает, что для того, чтобы получить чистый выигрыш в размере 7 долларов, вам необходимо поставить 2 доллара.
Для того чтобы рассчитать вероятность события на основе десятичного коэффициента, следует провести простые вычисления – знаменатель разделить на сумму числителя и знаменателя. Для вышеобозначенного коэффициента 7/2 расчет будет таким:
2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22
То есть вероятность исхода, по версии букмекеров, составляет 22%.
1.4. Американские коэффициенты
Данный вид коэффициентов популярен в Северной Америке. На первый взгляд, они кажутся довольно сложными и непонятными, но не стоит пугаться. Понимание американских коэффициентов может вам пригодиться, например, при игре в американских казино, для понимания котировок, демонстрируемых в североамериканских спортивных трансляциях. Разберем, как оценить вероятность исхода на основе американских коэффициентов.
В первую очередь надо понимать, что американские коэффициенты бывают положительными и отрицательными. Отрицательный американский коэффициент всегда идет в формате, к примеру, «-150». Это означает, что для того, чтобы получить 100 долларов чистой прибыли (выигрыш), необходимо поставить 150 долларов.
Положительный американский коэффициент рассчитывается наоборот. К примеру, у нас есть коэффициент «+120». Это означает, что для того, чтобы получить 120 долларов чистой прибыли (выигрыш), вам необходимо поставить 100 долларов.
Расчет вероятности на основе отрицательных американских коэффициентов делается по следующей формуле:
(-(отрицательный американский коэффициент)) / ((-(отрицательный американский коэффициент)) + 100)
(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6
То есть вероятность события, на которое дается отрицательный американский коэффициент «-150», составляет 60%.
Теперь рассмотрим аналогичные вычисления для положительного американского коэффициента. Вероятность в этом случае рассчитывается по следующей формуле:
100 / (положительный американский коэффициент + 100)
100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45
То есть вероятность события, на которое дается положительный американский коэффициент «+120», составляет 45%.
1.5. Как переводить коэффициенты из одного формата в другой?
Умение переводить коэффициенты из одного формата в другой может впоследствии сослужить вам хорошую службу. Как ни странно, до сих пор есть конторы, в которых коэффициенты не конвертируются и показаны лишь в одном, непривычном для нас формате. Рассмотрим на примерах, как это делать. Но для начала нам надо научиться вычислять вероятность исхода на основе данного нам коэффициента.
1.6. Как на основе вероятности рассчитать десятичный коэффициент?
Здесь все очень просто. Необходимо 100 разделить на вероятность события в процентном отношении. То есть, если предполагаемая вероятность события составляет 60%, вам надо:
При предполагаемой вероятности события в 60% десятичный коэффициент будет составлять 1,66.
1.7. Как на основе вероятности рассчитать дробный коэффициент?
В данном случае необходимо 100 разделить на вероятность события и от полученного результата отнять единицу. К примеру, вероятность события составляет 40%:
(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5
То есть мы получаем дробный коэффициент 1,5/1 или, для удобства счета, – 3/2.
Какие бывают типы коэффициентов?
Существует три основных вида коэффициентов, которые предлагают игрокам букмекеры: десятичные коэффициенты, дробные коэффициенты (английские) и американские коэффициенты. Наиболее распространённые коэффициенты в Европе – десятичные. В Северной Америке популярны американские коэффициенты. Дробные коэффициенты – наиболее традиционный вид, они сразу же отражают информацию о том сколько нужно поставить, чтобы получить определённую сумму.
Десятичные коэффициенты
Десятичные или еще их называют европейские коэффициенты – это привычный формат числа, представленный десятичной дробью с точностью до сотых, а иногда даже до тысячных. Пример десятичного коэффициента – 1.91. Рассчитать прибыль в случае с десятичными коэффициентами очень просто, достаточно лишь умножить сумму вашей ставки на этот коэффициент. Например, в матче “Манчестер Юнайтед” – “Арсенал” победа “МЮ” выставлена с коэффициентом – 2.05, ничья оценена коэффициентом – 3.9, а победа “Арсенала” равняется – 2.95. Предположим, что мы уверены в победе “Юнайтед” и ставим на них 1000 долларов. Тогда наш возможный доход рассчитывается следующим образом:
2.05 * $1000 = $2050;
Правда ведь ничего сложного?! Точно так же рассчитывается возможный доход при ставке на ничью и победу “Арсенала”.
Ничья: 3.9 * $1000 = $3900;
Победа “Арсенала”: 2.95 * $1000 = $2950;
Как рассчитать вероятность события по десятичным коэффициентам?
Представим теперь что нам нужно определить вероятность события по десятичным коэффициентам, которые выставил букмекер. Делается это так же очень просто. Для этого мы единицу делим на этот коэффициент.
Возьмем уже имеющиеся данные и посчитаем вероятность каждого события:
Победа “Манчестер Юнайтед”: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Ничья: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Победа “Арсенала”: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
Дробные коэффициенты (Английские)
Как понятно из названия дробный коэффициент представлен обыкновенной дробью. Пример английского коэффициента – 5/2. В числителе дроби находиться число, являющееся потенциальной суммой чистого выигрыша, а в знаменателе расположено число обозначающее сумму которую нужно поставить, чтобы этот выигрыш получить. Проще говоря, мы должны поставить $2 доллара, чтобы выиграть $5. Коэффициент 3/2 означает что для того чтобы получить $3 чистого выигрыша нам придётся сделать ставку в размере $2.
Как рассчитать вероятность события по дробным коэффициентам?
Вероятность события по дробным коэффициентам рассчитать так же не сложно, нужно всего на всего разделить знаменатель на сумму числителя и знаменателя.
Американские коэффициенты
Американские коэффициенты в Европе непопулярны, зато в Северной Америке очень даже. Пожалуй, данный вид коэффициентов самый сложный, но это только на первый взгляд. На самом деле и в этом типе коэффициентов ничего сложного нет. Сейчас во всем разберёмся по порядку.
Главной особенностью американских коэффициентов является то, что они могут быть как положительными, так и отрицательными. Пример американских коэффициентов – (+150), (-120). Американский коэффициент (+150) означает, что для того чтобы заработать $150 нам нужно поставить $100. Иными словами положительный американский коэффициент отражает потенциальный чистый заработок при ставке в $100. Отрицательный же американский коэффициент отражает сумму ставки, которую необходимо сделать для того чтобы получить чистый выигрыш в $100. Например коэффициент (- 120) нам говорит о том, что поставив $120 мы выиграем $100.
Как рассчитать вероятность события по американским коэффициентам?
Вероятность события по американскому коэффициенту считается по следующим формулам:
(-(M)) / ((-(M)) + 100), где M – отрицательный американский коэффициент;
100 / (P + 100), где P – положительный американский коэффициент;
Например, мы имеем коэффициент (-120), тогда вероятность рассчитывается так:
(-(M)) / ((-(M)) + 100); подставляем вместо “M” значение (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
Таким образом, вероятность события с американским коэффициентом (-120) равна 54,5%.
Например, мы имеем коэффициент (+150), тогда вероятность рассчитывается так:
100 / (P + 100); подставляем вместо “P” значение (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
Таким образом, вероятность события с американским коэффициентом (+150) равна 40%.
Как зная процент вероятности перевести его в десятичный коэффициент?
Для того чтобы рассчитать десятичный коэффициент по известному проценту вероятности нужно 100 разделить на вероятность события в процентах. Например, вероятность события составляет 55%, тогда десятичный коэффициент этой вероятности будет равен 1,81.
100 / 55% = 1,81
Как зная процент вероятности перевести его в дробный коэффициент?
Для того чтобы рассчитать дробный коэффициент по известному проценту вероятности нужно от деления 100 на вероятность события в процентах отнять единицу. Например, имеем процент вероятности 40%, тогда дробный коэффициент этой вероятности будет равен 3/2.
(100 / 40%) – 1 = 2,5 – 1 = 1,5;
Дробный коэффициент равен 1,5/1 или 3/2.
Как зная процент вероятности перевести его в американский коэффициент?
Если вероятность события больше 50%, то расчёт производится по формуле:
– ((V) / (100 – V)) * 100, где V – вероятность;
Например, имеем вероятность события 80%, тогда американский коэффициент этой вероятности будет равен (-400).
– (80 / (100 – 80)) * 100 = – (80 / 20) * 100 = – 4 * 100 = (-400);
В случае если вероятность события меньше 50%, то расчёт производиться по формуле:
((100 – V) / V) * 100, где V – вероятность;
Например, имеем процент вероятности события 20%, тогда американский коэффициент этой вероятности будет равен (+400).
((100 – 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
Как перевести коэффициент в другой формат?
Бывают случаи, когда необходимо перевести коэффициенты из одного формата в другой. Например, у нас есть дробный коэффициент 3/2 и нам нужно перевести его в десятичный. Для перевода дробного коэффициента в десятичный мы сначала определяем вероятность события с дробным коэффициентом, а затем эту вероятность переводим в десятичный коэффициент.
Вероятность события с дробным коэффициентом 3/2 равна 40%.
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
Теперь переведём вероятность события в десятичный коэффициент, для этого 100 делим на вероятность события в процентах:
100 / 40% = 2.5;
Таким образом, дробный коэффициент 3/2 равен десятичному коэффициенту 2.5. Аналогичным образом переводятся, например, американские коэффициенты в дробные, десятичные в американские и т.д. Самое сложное во всём этом лишь расчёты.
